ОСНОВИ ГІДРАВЛІКИ 

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ	АНОТАЦІЯ
ДОДАТКИ	СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	УКЛАДАЧІ

6. Режими руху реальних рідин

6.1. Методи вивчення руху рідин: методи Лагранжа і Ейлера. Установлений та неустановлений, рівномірний та нерівномірний рух рідин.

6.2. Рівняння нерозривності потоку. Ламінарний та турбулентний режими руху. Рівняння Бернуллі.

6.3. Рівняння Бернуллі для реальної в’язкої рідини.

6.1.  Методи вивчення руху рідин: методи Лагранжа і Ейлера. Установлений та неустановлений, рівномірний та нерівномірний рух рідин

Існує два методи вивчення руху рідин: метод Ж. Лагранжа і метод Л. Ейлера.

Метод Лагранжа полягає в розгляді руху кожної частинки рідини, тобто траєкторії її руху. Із-за значної трудоємкості цей метод не набув широкого розповсюдження.

Метод Ейлера полягає в розгляді загального руху рідини в різних точках рідинного середовища в певний момент часу. Цей метод дозволяє визначити швидкість руху рідини в любій її точці в любий момент часу, тобто характеризується побудовою поля швидкостей, а тому широко застосовується при вивченні руху рідин.

По характеру зміни поля швидкостей за часом рух рідин ділиться на установлений і неустановлений.

Неустановлений рух – це такий рух, коли в кожній точці рідини u і p залежить не тільки від координат але й від часу:

(6.1)

Прикладом неустановленого руху є рух рідини при витіканні через отвір в резервуарі, рівень рідини в якому змінюється.

Установленим називають такий рух рідини, при якому u і p залежить лише від координат точки:

(6.2)

Рівномірним є такий установлений рух, при якому всі елементи потоку не змінюються по його довжині (рух рідини в круглій трубі постійного діаметру).

Нерівномірним установленим є такий рух, при якому елементи потоку змінюються по його довжині (рух рідини в трубах змінного перерізу).

6.2. Рівняння нерозривності потоку. Ламінарний та турбулентний режими руху. Рівняння Бернуллі

Рівняння нерозривності потоку

Умова руху рідини без утворення розривів (порожнин) характеризується рівнянням нерозривності (суцільності), яке виражає закон збереження маси.

Для елементарної струминки на основі її властивостей кількість рідини, що проходить в одиницю часу по всій довжині струминки, однакова. Тобто, для двох довільних перерізів 1 і 2 струминки (рис 5.2).

, (6.3)

або

. (6.4)

Рівняння (3.7) називають рівнянням нерозривності для елементарної струминки.

Для потоку рідини при відсутності відводів чи припливів рівняння нерозривності є умовою сталості витрати:

, (6.5)

чи

. (6.6)

Останнє рівняння можна записати у вигляді

. (6.7)

Звідси виходить, що середні швидкості руху рідини в перерізах обернено пропорційні площам цих перерізів.

Джерело: https://www.youtube.com/watch?v=wykn-JTnacE

Ламінарний і турбулентний рух рідини

Спостереження показують, що при русі рідини можливі дві різні форми руху – ламінарний і турбулентний.

Ламінарним рухом рідини називається такий рух, при якому окремі частинки рідини переміщуються за прямолінійними траєкторіями паралельно до стінок і одна одної. можна сказати, що рідина в круглій трубі рухається концентричними кільцевими шарами, які не перемішуються один з одним.

Турбулентним рухом рідини називається такий рух, при якому поряд із загальним поступальним рухом мають місце і поперечні переміщення частинок, тобто у всьому потоці відбувається процес безперервного перемішування частинок рідини.

Рис. 6.1. Режими руху рідини:

а – ламінарний; б - турбулентний

Турбулентний потік своїми властивостями різко відрізняється від ламінарного. Перш за все це стосується закону гідравлічного опору в трубах.

Рис. 6.2. Перехід від ламінарного режиму течії до турбулентного

Вперше англійський дослідник Осборн Рейнольдс, виконавши велику кількість дослідів, встановив, що перехід від ламінарного режиму течії до турбулентного, і навпаки, від турбулентного до ламінарного, в круглих трубах, визначається чотирма фізичними величинами: середньою швидкістю течії V, діаметром труби d, в’язкістю μ і густиною рідини ρ. 

Рівняння Бернуллі

Отже, існує два основних режими витікання (руху) рідини, при цьому відбувається зміна енергії, віднесеної до одиниці ваги рідини, що переміщується. Рівняння Бернуллі являє собою запис закону збереження механічної енергії, віднесеної до одиниці ваги ідеальної рідини, що переміщується при усталеному русі.

Зміст рівняння Бернуллі для елементарної струминки при установленому русі можна сформулювати так: питома немеханічна енергія при усталеному русі елементарної струминки ідеальної рідини, що являє собою суму питомої потенційної енергії положення і тиску, а також питомої кінетичної енергії, є величина постійна.

Закон Бернуллі – основне рівняння гідродинаміки – застосовують для вирішення багатьох практичних та теоретичних питань і задач: при гідравлічному розрахунку трубопроводів, насосних установок, гідравлічних турбін тощо. Рівняння Бернуллі лежить також основі принципу розрахунку різних вимірювальних приладів, зокрема приладів для вимірювання швидкісного напору і витрати рідини.

В умовах руху елементарної струминки ідеальної (нев’язкої) рідини, яка не має тертя, рівняння Бернуллі має вигляд:

, (6.8)

де Z₁ і Z₂ – висота положення центрів тяжіння відповідно живих перерізів 1–1 і 2–2; струминки, що розглядається відносно горизонтальної площини порівняння;

р₁ і р₂ – гідродинамічні тиски в зазначених центрах тяжіння перерізів;

р₁/γ і р₂/γ – п’єзометричні висоти, що відповідають тискові в зазначених центрах тяжіння;

U₁ і U₂ – швидкість руху в живих перерізах 1–1 і 2–2.

Рис. 6.3. Схематичне пояснення закону Бернуллі для ідеальної рідини

Рівняння Бернуллі встановлює зв’язок між геометричним положенням живих перерізів струминки, тиском у центрі тяжіння цих перерізів і швидкістю течії.

Аналізуючи це рівняння, маємо:
Механічний зміст рівняння Бернуллі -	приріст живої сили для одиниці ваги рідини рівний роботі сили тяжіння при переміщенні одиниці ваги рідини з висоти Z1 до Z2 і роботі сили динамічного тиску.
Енергетичний зміст рівняння Бернуллі -	рівняння виражає закон збереження енергії для рідкого тіла. Для ідеальної рідини сума питомої енергії положення Z, питомої енергії тиску р/γ і питомої кінетичної енергії U/2g - величина постійна по всій довжині елементарної струминки.
Геометричний зміст рівняння Бернуллі -	із центрів тяжіння живих перерізів струминки 1–1 і 2–2, що розташовані на відстанях Z1 і Z2 від площини порівняння 0–0, відкладемо величини р1/γ і р2/γ та верхні кінці відрізків з’єднаємо плавною кривою. Ця лінія називається п’єзометричною. Вона характеризує запас питомої потенційної енергії еп=Z+ р/γ. Уверх від цієї лінії відкладемо величини U1/2g та U2/2g і їхні кінці з’єднаємо лінією, яка називається напірною. З рівняння Бернуллі випливає, що сума енергій положення Z, тиску р/γ і кінематичної енергії для будь-яких перерізів елементарної струминки – величина постійна, і напірна лінія повинна бути горизонтальною.

Джерело: https://www.youtube.com/watch?v=UJ3-Zm1wbIQ

Відстань від площини порівняння до п’єзометричної лінії рівна сумі геометричної і п’єзометричної р/γ висот і називається п’єзометричним або потенційним напором:

. (6.9)

Величина h_u=U²/2g — називається швидкісним напором.

Відстань від площини порівняння до напірної лінії, яка рівна сумі потенційного або швидкісного напорів, називається гідродинамічним або повним напором:

. (6.10)

Всі складові рівняння Бернуллі мають розмірність енергії в одиниці ваги, що еквівалентна розмірності довжини.

Висновок: рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини не враховує сили тертя зі стінками русла або трубопроводу, а також сили, які виникають при змішуванні струминок рухомої реальної (в’язкої) рідини.

6.3. Рівняння Бернуллі для реальної в’язкої рідини

При русі реальної рідини на подолання сил тертя витрачається частина механічної енергії, яка перетворюється в теплову і розсіюється в просторі.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини має вигляд:

, (6.11)

де Z₁ і Z₂ – висота положення центрів тяжіння відповідно до живих перерізів 1–1 і 2–2 струминки, що розглядається відносно горизонтальної площини порівняння;

р₁ і р₂ – гідродинамічні тиски в зазначених центрах тяжіння перерізів;

р₁/γ і р₂/γ – п’єзометричні висоти, що відповідають тискові в зазначених центрах тяжіння;

α — коефіцієнт Коріоліса, який враховує нерівномірність розподілу швидкостей у живому перерізі;

V₁ і V₂ — середні швидкості в живих перерізах 1–1 і 2–2;

h_ω — витрати питомої енергії на ділянці між перерізами 1–1 і 2–2, що витрачається на подолання сил тертя.

Рис. 6.4. Схематичне пояснення закону Бернуллі для реальної рідини

Коефіцієнт Коріоліса (коефіцієнт кінетичної енергії) враховує вплив нерівномірності розподілу швидкостей по живому перерізу на питому кінетичну енергію потоку, що розрахована за середньою швидкістю.

Коефіцієнт Коріоліса α залежить від ступеня нерівномірності розподілу по живому перерізу потоку (α — визначається дослідним шляхом, вимірюючи швидкості в різних точках потоку рідини). Для установленого плавно змінюваного потоку рідини у відкритих потоках і трубах середнє значення α ≈ 1,1.

Джерело: https://www.youtube.com/watch?v=wykn-JTnacE

Падіння п’єзометричної лінії на одиницю довжини потоку або нахил п’єзометричної лінії до горизонту називається п’єзометричним нахилом:

. (6.12)

П’єзометричний нахил характеризує падіння потенційної енергії потоку на одиницю його довжини.

Падіння напірної лінії на одиницю довжини потоку називається гідравлічним нахилом:

, (6.13)

де l — довжина потоку між перерізами 1–1 і 2–2.

Гідравлічний нахил характеризує зменшення повної питомої енергії на одиницю довжини (витрати енергії на подолання опорів, які виникають у рухомій рідині).

Величина h_ω — виражає сумарну втрату напору, що складається з двох видів втрат — на подолання місцевих опорів і опорів по довжині потоку:

, (6.14)

де h_м – місцеві опори (зміна живого перерізу або конфігурації потоку в місцях розширення або звуження потоку, на поворотах, в місцях установлення заслінок, кранів, діафрагм);

h_довж – втрати напору внаслідок тертя стінок із рідиною, а також дією сил внутрішнього тертя, які виникають при змішуванні струминок рідини.

Закон Бернуллі – застосовують для вирішення багатьох практичних і теоретичних питань і задач: при гідравлічному розрахунку трубопроводів, насосних установок, гідравлічних турбін тощо. Рівняння Бернуллі лежить також основі принципу розрахунку різних вимірювальних приладів, зокрема приладів для вимірювання швидкісного напору і витрати рідини. У роботі таких пристроїв як витратомір Вентурі, трубка Піто, пульверизаторах, карбюраторах, струминних насосах. Дана закономірність використовується при осушенні боліт, у реактивних двигунах і навіть у звичайних свистках.

	Питання для самоконтролю
1. Які є методи вивчення руху рідин? 2. Які рухи рідини називають неустановленим та установленим? 3. Який вигляд має рівняння нерозривності потоку? 4. Що називають ламінарним і турбулентним рухом рідини? 5. Вкажіть суть закону Бернуллі. 6. Який вигляд має рівняння Бернуллі для реальної в’язкої рідини? 7. Де на практиці застосовують закон Бернуллі?

Попередня тема

На початок

Наступна тема