ОСНОВИ ГІДРАВЛІКИ 

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ	АНОТАЦІЯ
ДОДАТКИ	СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	УКЛАДАЧІ

2. Основи гідростатики

2.1. Гідростатичний тиск та його властивості

2.2. Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля

2.3. Повний (абсолютний) і манометричний тиск. П’єзометри і п’єзометричний тиск. Вакуум

2.4. Диференційні рівняння рівноваги рідин (рівняння Ейлера)

2.1. Гідростатичний тиск та його властивості

Гідростатика — це розділ гідравліки, в якому вивчаються закони рівноваги рідини і застосування цих законів для розв’язання практичних задач.

Одне з основних завдань гідростатики — вивчення розподілу тиску в рідині. Знаючи розподіл тиску на підставі законів гідростатики, можна розрахувати сили, що діють з боку рідини, що знаходиться в стані спокою, на занурені в неї тіла.

Рідина знаходиться в спокої, якщо її частинки не рухаються одна відносно другої. При цьому на рідину діють масові сили (сила інерції, сила тяжіння) і поверхневі сили, прикладені до по верхні, яка обмежує даний об’єм рідини (сила атмосферного тиску, сила тертя).

Напруження, що виникає всередині об’єму рідини в стані рівноваги, називається гідростатичним тиском:

, (2.1)

де F – сила, Н;

S – площа, м².

В системі одиниць СІ одиницею тиску є Паскаль (Па), що дорівнює тиску, який створюється силою в 1Н на 1м² (1Па = 1Н/м²). Ця одиниця тиску мала, тому використовуються кратні величини (1кПа = 1000 Па, 1МПа = 10⁶ Па).

Крім цих одиниць тиску використовуються інші одиниці вимірювання тиску, які зв’язанi такими спiввiдношеннями:

1техн. ат. = 1 кгс/см² = 10 м.в.ст.= 736 мм.рт.ст. = 98100 Па ≈ 1бар.

1 фізична ат. = 760 мм.рт.ст. ≈ 101300 Па = 14,6959 PSI (pound-force per square inch).

1 бар = 1,02 кгс/см² = 750,3 мм.рт.ст. = 105 Па.

Рис. 2.1. Напрям тиску вязкої рідини

Джерело: https://www.youtube.com/watch?v=kBxRG7ECjaY

2.2. Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля

Візьмемо у рідини довільну точку з координатою Z і глибиною занурення h (рис. 2.2). Основне рівняння гідростатики – рівняння, що виражає гідростатичний тиск р у будь-якій точці нерухомої рідини в тому випадку, коли з масових сил на неї діє тільки одна сила тяжіння.

(2.2)

де р₀ – тиск на вільній поверхні рідини, Па;

h – глибина розміщення точки, що розглядається, м.

Рис. 2.2. Тиск у точці в’язкої рідини

Інша форма запису рівняння (2.2) має вигляд:

(2.3)

де z і z₀ - вертикальні координати довільної точки і вільної поверхні рідини, що відраховуються від горизонтальної площини.

Якщо відома величина питомої ваги γ, рівняння (2.2) можна записати у вигляді

. (2.4)

З виразу (2.4) випливає, що гідростатичний тиск р у даній точці дорівнює сумі тисків на вільній поверхні рідини р₀ і тиску, створюваному стовпом рідини висотою, що дорівнює глибині занурення точки.

Дрібні частинки рідини і газу можуть вільно переміщатися відносно один одного в усіх напрямках, тому тиск, що передається рідинами і газами, відрізняється від тиску, який передається твердими тілами.

твердої речовини	рідини	газу
Рис. 2.3. Рух молекул

Рідини і гази передають діючий на них тиск в усіх напрямках однаково. Це твердження називають законом Паскаля.

	Закон Паскаля був відкритий французьким вченим Блезом Паскалем у 1653 році, який підтверджується різними дослідами. Наприклад, приєднаємо до трубки з поршнем порожнисту кулю з безліччю маленьких отворів. Наповнимо кулю водою і натиснемо
на поршень. Тиск у трубці збільшиться, вода почне виливатися через всі отвори, при цьому напір води у всіх струмках  буде однаковим. Рідини і гази передають в усіх напрямках не тільки діючий на них тиск, а й той тиск, який існує всередині них завдяки вазі власних частинок. Верхні шари тиснуть на середні, а середні - на нижні, нижні - на дно. Усередині рідини існує тиск, і на одному, і  тому ж рівні він однаковий в усіх напрямках. Із глибиною тиск збільшується.

Джерело:  https://www.youtube.com/watch?v=VNLnO2dW--A

Закон Паскаля широко використовують у техніці для проектування гідравлічних пристроїв (гідравлічні преси, гальма, підйомники, домкрати, гідроакумулятори).

Існують інші варіанти формулювання закону Паскаля:

а) тиск, який передається на вільну поверхню рідини будь-якими зовнішніми силами, що не порушують рівноваги, передається без зміни в усі точки рідкого об’єму, збільшуючи на одну й ту саму величину тиск, що раніше існував у кожній точці рідини;

б) тиск, який діє на рідину, що перебуває у закритому об’ємі, передається рівномірно в усіх напрямках.

Геометричне місце точок в об’ємі рідини, в яких тиск однаковий, називається поверхнею рівня

З основного рівняння гідростатики (2.2) видно, що в рідині, яка знаходиться в стані спокою, p=const при z=const. Тобто, якщо на рідину діє тільки сила тяжіння, то поверхні рівня будуть горизонтальними площинами.

У випадку, коли рідина знаходиться у відносній рівновазі в посудині, що рухається з постійним прискоренням а (рис.2.4), поверхнями рівня є похилі площини з кутом нахилу до горизонту β, причому tgβ=а/g.

Рис. 2.4. Поверхні рівня рідини при відносній рівновазі в посудині, що рухається з постійним прискоренням

Тоді рівняння поверхні рівня має вид

(2.5)

де h – глибина занурення поверхні рівня під вільну поверхню вздовж осі 0z.

Рідина може знаходитися у відносній рівновазі в посудині, що обертається з постійною кутовою швидкістю ω. В цьому випадку поверхня рівня буде параболоїдом обертання (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Поверхні рівня рідини при відносній рівновазі в посудині, що обертається з постійною кутовою швидкістю

На кожну частинку рідини масою m, що знаходиться на відстані r від осі обертання, діє масова сила тяжіння mg та відцентрова сила m ω²r, результуючий вектор j є сумою цих сил. Висота будь-якої точки поверхні рівня над вершиною параболоїду обертання визначається за формулою:

(2.6)

2.3. Повний (абсолютний) і манометричний тиск. П’єзометри і п’єзометричний тиск. Вакуум

Рис. 2.6. Графічне зображення тиску

Повний або абсолютний тиск в будь-якій точці нерухомої рідини визначається за формулою:

(2.7)

де р₀ – тиск на вільній поверхні рідини;

ρgh – тиск, що створюється шаром рідини висотою h над цією точкою.

У випадку, якщо р_о=р_аm , то

(2.8)

Надлишковий або манометричний тиск визначається як різниця

(2.9)

На практиці, як правило, мають справу з надлишковим тиском, тому його звичайно позначають без індексу

(2.10)

У випадку, коли р_абс <р_аm утворюється вакуум

(2.11)

При р_абс=0 значення вакууму має максимальне значення

(2.12)

Повний гідростатичний тиск в т.А, що знаходиться на глибині h у відкритій посудині з рідиною і тиском р₀ = р_аm на вільній поверхні, визначається за формулою (2.7), а манометричний тиск – за формулою (2.10).

Рис. 2.7. До тлумачення основного рівняння гідростатики

Якщо до резервуару на рівні т.А під’єднати п’єзометр (скляна трубка діаметром 10…15 мм) з відкритим кінцем, то рідина в ньому встановиться на рівні вільної поверхні рідини в резервуарі (рис.2.6). Висота стовпа рідини в п’єзометрі залежить від манометричного тиску

(2.13)

Висота h називається п’єзометричною висотою.

Якщо до резервуару під’єднати п’єзометр із запаяним кінцем і відкачати з нього повітря, тобто створити в ньому абсолютний вакуум (р₀=0), то рідина підніметься на висоту, що відповідає атмосферному тиску тобто висоті стовпа води h=10 м.

Висота стовпа рідини в запаяному п’єзометрі h_п називається приведеною висотою. Відповідно приведена висота відповідає величині повного гідростатичного тиску, а п’єзометрична висота – манометричному тиску.

Якщо тиск на вільній поверхні рідини в посудині більший від атмосферного, то у відкритому п’єзометрі вода підійметься вище рівня води в посудині (рис.2.7) на висоту стовпа рідини, що зрівноважує різницю тисків (р₀–р_аm)/ρg. Відповідно висота цього стовпчика води відповідає манометричному тиску на вільній поверхні в резервуарі, а п’єзометрична висота р_м/ρg – манометричному тиску в т.А.

Рис. 2.8. До тлумачення основного рівняння гідростатики

Якщо тиск на вільній поверхні рідини менший від атмосферного (вакуум), то у відкритому п’єзометрі рівень встановиться нижчим ніж у резервуарі.

Основне рівняння гідростатики можна записати у такому вигляді,

(2.14)

де величина gz виражає потенціальну енергію рідини масою 1 кг, що піднята на висоту z від площини 0-0 (т.А). Крім цього в т.А на рідину діє повний гідростатичний тиск, під дією якого рідина масою 1 кг може підійнятися ще на висоту р_м/ρg. Тобто повна потенціальна енергія одиниці маси рідини складається з двох величин: gz – питома потенціальна енергія положення та р/ρg – питома потенціальна енергія тиску. Одиницею енергії є Джоуль, тому питома енергія вимірюється в Дж/кг.

З основного рівняння гідростатики випливає, що з фізичної точки зору повна потенціальна енергія для всіх частинок рідини, що знаходиться в стані спокою, є постійною величиною.

Рівняння (2.14) також можна записати у вигляді

(2.15)

де кожний член виразу є одиницею вимірювання напору.

Величина Н_п=z+р/ρg називається повним гідростатичним напором. Величина Н=z+р_м/ρg називається п’єзометричним (гідростатичним) напором, а величина р_м/ρg називається п’єзометричною висотою.

З геометричної точки зору основне рівняння гідростатики можна інтерпретувати так: для всіх частинок рідини, що перебувають в стані спокою, сума висот положення z та п’єзометричних висот рм/ρg є сталою величиною.

2.4. Диференційні рівняння рівноваги рідин (рівняння Ейлера)

Розглянемо у рідині, що перебуває у стані спокою, довільну точку А і навколо цієї точки виділимо елементарний паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz (рис. 2.9).

Тиск у точці A(x,y,z) дорівнює p. Враховуючи властивості гідростатичного тиску p=f (x,y,z), для точки М із координатами і точки N із координатами тиск буде відрізнятися від p :

Рис. 2.9. Елементарний паралелепіпед

Тоді на ліву і праву грань паралелепіпеда діють сили

Крім того, у напрямку осі ОХ діє проекція одиночної масової сили X :

Запишемо умову рівноваги виділеного об’єму на вісь ОХ :

Розкриваючи дужки, одержимо

Перетворюючи, одержимо

За аналогією можна записати і рівняння для осей ОY і ОZ.

(2.16)

Рівняння (2.16) є основними диференційними рівняннями рівноваги рідини (рівняння Ейлера).

Щоб привести рівняння Ейлера до вигляду, зручного для інтегрування, помножимо кожне з рівнянь (2.16) відповідно на dx, dy, dz і складемо їх почленно:

Ліва частина цього рівняння є повним диференціалом тиску dp, тому:

(2.17)

Рівняння (2.17) називається основним диференційним рівнянням гідростатики .

Під час дії на рідину тільки сил тяжіння (стан абсолютного спокою) отримаємо:

(2.18)

Інтегруємо дане рівняння для рідини, яка не стискається і отримаємо:

За умови, що z = z₀ і р = р₀

Тоді отримаємо основне рівняння гідростатики:

(2.19)

З цього рівняння витікає закон Паскаля:

Будь-яка зміна тиску в будь-якій точці рідини в стані спокою,

яка не порушує її рівноваги, в усі інші точки передається однаково.

Питання для самоконтролю

1. Що називається гідростатичним тиском? Які існують одиниці вимірювання гідростатичного тиску? 2. Назвіть властивості гідростатичного тиску? 3. Які форми запису має основне рівняння гідростатики? 4. Як формулюється закон Паскаля. 5. Що таке поверхня рівня? 6. Як розраховуються поверхні рівня рідини, що рухається разом з посудиною з постійним прискоренням? 7. Як розраховуються поверхні рівня рідини, що обертається разом з посудиною з постійною кутовою швидкістю? 8. Що називається абсолютним та манометричним тиском, вакуумом? 9. Рівняння Ейлера.

Попередня тема

На початок

Наступна тема