Тема 2.8. Стійкість стиснених стрижнів

План

1. Критична сила. Формула Ейлера для різних випадків закріплення опор

2. Критичне напруження. Емпіричні формули для визначення критичних напружень. Залежність критичних напружень від гнучкості стрижня

3. Розрахунки на стійкість за формулою Ейлера. Раціональні форми поперечних перерізів стиснених стрижнів

1. Критична сила. Формула Ейлера для різних випадків закріплення опор

Не завжди достатня міцність і жорсткість стрижня забезпечують його повну надійність. З історії техніки можна навести багато прикладів, коли причиною аварій інженерних конструкцій була втрата стійкості її стиснених елементів.

Навантаження, за яких втрачається стійкість, називають критичними, а відповідні стани – критичними станами. Небезпека втрати стійкості особливо велика для легких, тонкостінних конструкцій типу гнучких стрижнів, пластинок і оболонок.

Критичною силою називають найбільше значення стискальної сили, прикладеної центрально, до якої прямолінійна форма рівноваги стрижня є стійкою.

Згин, пов’язаний з втратою стійкості прямолінійної форми стрижня, називають поздовжнім згином.

Якщо стискальні сили хоч трохи перевищують критичне значення, то додаткові напруги згину досягають досить значних величин і безпосередньо загрожують міцності конструкції.

Щоб забезпечити стійкість, необхідно, щоб стискальна сила F , яка діє на стрижень, була меншою за критичну.

Позначимо допустиму стискальну силу [F], тоді:

,

де – допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Значення коефіцієнта запасу міцності залежить від призначення стрижня і його матеріалу.

– для сталей;

– для чавунів;

– для дерева.

Леонард Ейлер вивів формулу для визначення величини критичної сили:

,

де Е – модуль пружності першого роду;

J_min – найменший з осьових моментів інерції перерізу, оскільки стрижень викривляється в площині найменшої жорсткості, в чому легко впевнитися, стискаючи поздовжньою силою лінійку;

l – довжина стрижня;

μ – коефіцієнт зведення довжини, який залежить від способу кріплення кінців стрижня.

На рис. 1 зображено способи кріплення кінців стрижня, які найчастіше застосовують, і наведено значення μ:

1) обидва кінці стрижня закріплені шарнірно і можуть зближуватися (а);

2) нижній кінець жорстко закріплений, верхній вільний (б);

3) один кінець закріплений шарнірно, другий має «плаваюче» кріплення (в);

4) нижній кінець закріплений жорстко, верхній має «плаваюче» кріплення (г);

5) обидва кінці жорстко закріплені, але можуть зближуватися (д);

6) нижній кінець закріплений жорстко, верхній – шарнірно (г);

Рис. 1

Зазначимо, що менше μ, то більша критична сила, а отже, і допустиме стискальне навантаження. Наприклад, стискальне навантаження стрижня, жорстко закріпленого обома кінцями (μ = 0,5), може бути в 16 разів більше від навантаження стрижня, закріпленого одним кінцем (μ = 2). Тому там, де це можливо, треба жорстко кріпити обидва кінці стрижня.

2. Критичне напруження. Емпіричні формули для визначення критичних напружень. Залежність критичних напружень від гнучкості стрижня

Виведення формули Ейлера ґрунтується на законі Гука, який дійсний доти, поки напруга не перевищує границі пропорційності. Тому формулою Ейлера можна користуватися незавжди. Для визначення границь застосовності формули Ейлера знайдемо критичну напругу σ_кр, тобто напругу, яка виникає у поперечному перерізі А стрижня під дією критичної сили:

,

– найменший радіус інерції поперечного перерізу стрижня.

Перепишемо формулу для σ_кр так: ,

вираз гнучкість стрижня, це безрозмірна величина, яка характеризує  вплив розмірів стрижня і способу закріплення його кінців.

Формула критичної напруги:

.

Формулою Ейлера можна користуватися тільки тоді, коли виконується умова:

,

де: – границя пропорційності матеріалу стрижня.

– гранична гнучкість.

Гранична гнучкість залежить лише від фізико-механічних властивостей матеріалу стрижня і стала для цього матеріалу.

За допомогою поняття граничної гнучкості умову застосовності формули Ейлера можна записати у вигляді  , тобто формула Ейлера застосовна тільки тоді, коли гнучкість стрижня більша або дорівнює граничній гнучкості для матеріалу, з якого його виготовлено.

Обчислимо, як приклад, значення для маловуглецевої сталі Ст.3. Для сталі Ст.3  = 200 МПа, а Е = 2·10⁵ МПа, тоді:

.

Для стрижнів з маловуглецевої сталі формулу Ейлера застосовують, якщо їх гнучкість λ_кр =100. Аналогічно можна обчислити значення граничної гнучкості для інших матеріалів. Зокрема, для чавуну λ_кр = 80; для дерева (сосна) λ_кр=110.

Якщо гнучкість стрижнів менша від наведених величин, то формулу Ейлера вже не застосовують і в розрахунках користуються формулою Ясинського:

,

де а і в – коефіцієнти, які залежать від матеріалу; їх беруть з довідкових таблиць. Якщо гнучкість λ_кр < 40, стрижні можна розраховувати на міцність під час простого стискання, не враховуючи небезпеку поздовжнього згину, тобто за формулою: .

Рис. 2

Отже, за малих значень λ_кр (λ_кр < 40) стрижні з маловуглецевої сталі розраховують на просте стискання; за середніх значень (40λ_кр<100) розраховують за формулою Ясинського, а за великих (λ_кр 100) – за формулою Ейлера.

Графік залежності критичної напруги від гнучкості для стрижнів з маловуглецевої сталі зображено на рис. 2. Зазначимо, що:

1) за малих значень λ_кр критична напруга σ_кр дорівнює границі текучості σ_Т ;

2) за середніх значень λ_кр критична напруга менше від границі текучості σ_Т, але більше, ніж границя пропорційності ();

3) за великих значень λ_кр критична напруга менша від границі пропорційності.

3.  Розрахунки на стійкість за формулою Ейлера. Раціональні форми поперечних перерізів стиснених стрижнів

Розрізнюють три види розрахунків на стійкість:

1) Перевірний розрахунок, коли визначають коефіцієнт запасу стійкості n_ст і порівнюють знайдене значення з допустимим [n_ст]: ;

2) Визначення допустимого навантаження: ;

3) Проектний розрахунок, коли визначають потрібне значення мінімального моменту інерції поперечного перерізу стрижня:

,

після чого знаходять гнучкість і порівнюють з граничною.

Розрахунки показують, що найвигіднішими під час роботи стрижнів на стиск є кільцеві і коробочні тонкостінні перерізи. Доведено, що заміна стиснених стрижнів у вигляді кутників і двотаврів трубчастими стрижнями дає економію матеріалу до 20... 40 %.

Запитання для самоконтролю

1. Що називають критичним станом?

2. Що називають критичною силою?

3. Що називають поздовжнім згином?

4. Якою має бути стискальн сила, щоб забезпечити стійкість стрижня?

5. Який вигляд має формула Ейлера для визначення критичної сили?

6. Від чого залежить значення коефіцієнта запасу міцності?

7. Які існують способи кріплення кінців стрижня?

8. За якою формулою знаходять гнучкість стрижня?

9. Який вигляд має формула Ейлера для визначення критичної напруги?

10.  Який вигляд має формула Ясинського для визначення критичної напруги?

11.  Укажіть межі застосування формули Ейлера.

12.  Які існують види розрахунку стрижнів на стійкість?

Попередня тема Теоретичні відомості Наступна тема