Тема 2.6. Згин

План

1. Основні поняття та визначення. Класифікація видів згину. Внутрішні силові фактори за прямого згину

2. Диференціальні залежності між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження

3. Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів

4. Нормальні напруження в поперечних перерізах за згину. Осьові моменти опору

5. Розрахунки на міцність за згину. Раціональні форми поперечних перерізів балок за згину

6. Поняття про дотичні напруження за прямого поперечного згину

7. Лінійні та кутові переміщення за прямого згину. Розрахунки на жорсткість за згину

1. Основні поняття та визначення. Класифікація видів згину. Внутрішні силові фактори за прямого згину

Згин – це один з простих видів навантаження (деформації) бруса, за якого у його поперечному перерізі діє внутрішній згинальний момент (), внаслідок чого вісь бруса викривляється.

Брус, що працює на згин, називають балкою.

Згин може виникати під дією зовнішніх поперечних сил (зосереджених або розподілених уздовж бруса) та моментів пар сил.

Рис. 1

Під час деформації згину у поперечних перерізах балки виникають такі внутрішні силові фактори, як поперечна сила і згинальний момент .

Розрізняють такі види згину:

- чистий згин (, );

- поперечний згин (, ).

Якщо площина дії згинального моменту (силова площина) проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу бруса, згин називають плоским прямим. При цьому викривлена вісь бруса буде плоскою кривою, яка розташована в силовій площині.

Якщо навантаження не лежать в одній силовій площині, то і викривлена вісь бруса буде просторовою кривою. У такому разі маємо складний просторовий згин. Таку схему навантаження можна розглядати як суперпозицію двох плоских прямих згинів, для чого усі навантаження треба розкласти на складові на головних осях інерції перерізу.

Поперечна сила в перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил, які діють справа або зліва від перерізу.

Правило знаків. Зовнішні сили, які намагаються повернути відрізану частину балки, відносно перерізу, за ходом часової стрілки визивають додатну поперечну силу, і навпаки проти ходу часової стрілки від’ємну (рис. 2).

Рис. 2

Згинальний момент у перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно центра ваги перерізу всіх зовнішніх сил, які діють справа або зліва від перерізу.

Правило знаків. Якщо зовнішнє навантаження намагається зігнути балку опуклістю донизу, то згинальний момент у перерізі вважають додатним, і навпаки (рис. 3).

Рис. 3

Між згинальним моментом, поперечною силою і інтенсивністю розподіленого навантаження існують диференціальні залежності, в основі яких лежить теорема Журавського, названа так за ім'ям визначного російського інженера-мостобудівника Д.І. Журавського (1821–1891). Цю теорему формулюють так: поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту за абсцисою перерізу балки:

Якщо рівняння згинальних моментів (для ділянок з рівномірно розподіленим навантаженням) продиференціювати вдруге, то матимемо

Друга похідна від згинального моменту або перша похідна від поперечної сили за абсцисою перерізу балки дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження.

3. Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів

Під час побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів рекомендується дотримуватися такої послідовності:

1) Визначити реакції опор (для консолі їх можна не знаходити).

2) Розбити брус на ділянки, границями яких є перетини, в яких прикладені зосереджені сили і пари або розпочинається чи закінчується розподільне навантаження. Такі перетини називають характерними.

3) Користуючись методом перетинів, будуємо епюру поперечних сил. Якщо поперечна сила, змінюючись безперервно, проходить через нульове значення, то необхідно визначити абсцису перерізу, де Q стає нульовим.

4) Визначити в характерних перетинах значення згинальних моментів і за знайденими ординатами побудувати епюру М_х.

Взаємозв’язок між видами епюр і навантаженням

Для епюри поперечних сил

1) На ділянках, де прикладено рівномірно розподільне навантаження, епюра – похила пряма, нахил прямої до осі балки залежить від інтенсивності навантаження.

2) На ділянках, вільних від рівномірно розподільного навантаження, епюра – пряма паралельна осі балки.

3) У перетинах, де прикладено зосереджену силу, значення поперечної сили змінюється стрибкоподібно, до того ж стрибок дорівнює модулю цієї сили.

4) У перетинах, де прикладено пару сил, значення поперечної сили не змінюється.

5) У кінцевих перетинах балки поперечна сила чисельно дорівнює зосередженим силам, які прикладені у цьому перерізі. Якщо в кінцевому перерізі не прикладені зосереджені сили, поперечна сила в них рівна нулю.

Для епюри згинальних моментів

1) На ділянках, де прикладено рівномірно розподільне навантаження, епюра моментів є параболою. Опуклість параболи спрямовано в бік протилежний дії навантаження (на зустріч навантаженню).

2) На ділянках, вільних від рівномірно розподільного навантаження, епюра моментів похила пряма. Під зосередженими силами на епюрі утворюються згини, тобто для декількох ділянок епюра – ломана лінія.

3) У перерізі, де прикладено пару сил, значення згинального моменту змінюється стрибкоподібно, до того ж стрибок дорівнює моменту пари.

4) На кінці балки згинальний момент дорівнює нулю, якщо там не прикладено пару сил. Якщо в кінцевому перерізі прикладено зовнішню пару сил, то згинальний момент дорівнює моменту пари.

5) На ділянках, де Q = 0, балка відчуває чистий згин і епюра згинальних моментів – пряма паралельна осі балки.

6) Згинальний момент має екстремальне значення (max або min) в перетинах, де змінено знак поперечної сили.

4. Нормальні напруження в поперечних перерізах за згину. Осьові моменти опору

У поперечному перерізі балки за чистого згину виникають тільки нормальні напруги розтягу і стиску.

Для доказу розрахункових формул вводять такі припущення, які зроблені на основі досліджень:

1) плоский поперечний переріз балки за чистого згину залишається плоским до і після деформації (гіпотеза плоских перетинів);

2) поздовжні волокна не тиснуть одне на одне, тобто під дією нормальних напружень вони перебувають у лінійному напруженому стані.

Навантажуючи гумову модель двома протилежними парами сил, можна зробити такий висновок (рис. 4.): за чистого згину поперечні перетини повертаються, повздовжні волокна на опуклому боці видовжуються, а на вгнутому – стискаються.

Безымянный

Рис. 4

На межі між ними лежить нейтральний шар волокон, які тільки викривляються, не змінюючи своєї довжини.

Приймаючи гіпотезу про ненатискання волокон, можна стверджувати, що за чистого згину в поперечних перетинах бруса виникають тільки нормальні напруги розтягу і стиску, які нерівномірно розподілені за висотою перерізу і залишаються сталими за шириною.

Викривлення волокон і осі бруса відбувається внаслідок нерівномірного розподілу нормальних напружень на поперечному перерізі. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називають нейтральною віссю. На нейтральній осі напруги дорівнюють нулю.

Як було встановлено раніше, в поперечних перетинах балки у випадку чистого згину виникають тільки нормальні напруги розтягу і стиску. Щоб визначити розподіл цих напруг на поперечному перерізі, треба розглянути деформації волокон балки.

Рис. 5

Розглянемо ділянку балки, яка зазнає деформації чистого згину. Двома поперечними перетинами АВ і CD виділимо елемент балки нескінченно малої довжини ds (рис. 5). Радіус кривизни нейтрального шару позначимо ρ. Розглянемо шар волокон, який знаходиться на відстані у від нейтрального шару NN. Це волокно як результат деформації згину видовжилося на величину . Зважаючи на малість відстані ds, заштриховані трикутники вважатимемо прямолінійними; ці трикутники подібні.

(n₁F || mE):

З подібності трикутників маємо . Через те, що ліва частина цієї рівності є відносним видовженням, тобто , то .

Застосувавши закон Гука для розтягу і стиску , матимемо:

З цієї формули видно, що нормальні напруги деформації згину розподілені за висотою перерізу нерівномірно: максимальні напруги виникають у волокнах, найбільше віддалених від нейтральної осі. За шириною перерізу нормальні напруги не змінюються. Закон розподілу нормальних напруг зображено на рис. 6.

Рис. 6 Рис. 7

Ця формула для обчислення нормальних напруг незручна, бо до неї входить радіус кривизни нейтрального шару. Щоб знайти формулу, яка зв'язує нормальні напруги і згинальний момент, застосуємо метод перетинів і розглянемо рівновагу частини балки, зображеної на рис. 7.

У площині поперечного перетину виділимо нескінченно малу площадку dA, у межах якої вважатимемо нормальні напруги σ сталими; тоді нормальна сила dN, що діє на площадку dA, дорівнюватиме . Складемо два рівняння рівноваги:

1) ; ;

(ρ для цього перерізу величина стала, тому її винесено за знак інтеграла).

Оскільки E і ρ не дорівнюють нулю, то .

Цей інтеграл є статичним моментом площі перерізу відносно осі х, тобто нейтральної осі. Те, що статичний момент дорівнює нулю, означає, що під час згину нейтральна вісь проходить через центр ваги площі поперечного перетину.

2) ; ;

оскільки за чистого згину згинальний момент дорівнює зовнішньому моменту М_зг = m, то:

звідки ,

де: – момент інерції перерізу відносно нейтральної осі,

EI – жорсткість перерізу за згину.

Оскільки у випадку чистого згину балки сталого перерізу:

M_зг = const і = const, то = const.

Отже, зігнута вісь такої балки є дугою кола.

Значення радіуса кривизни підставимо у формулу для обчислення нормальних напруг, тоді:

Максимальні значення нормальних напруг будуть там, де волокна найбільш віддалені від нейтральної осі:

де – момент опору згину.

Момент опору згину є відношення осьового моменту інерції поперечного перетину відносно нейтральної осі до відстані від цієї осі до найбільш віддаленого волокна.

Значення моментів опору деформації згину найбільш поширених перерізів.

1) Прямокутник : ; .

2) Круг діаметром d : .

5. Розрахунки на міцність за згину. Раціональні форми поперечних перерізів балок за згину

Умова міцності балки для випадку згину полягає в тому, що максимальна нормальна напруга в небезпечному перерізі не має перевищувати допустиму.

Вважаючи, що гіпотеза про ненатискання волокон дійсна не тільки для чистого, а й для поперечного згину, нормальні напруги в поперечному перерізі у випадку поперечного згину можна обчислювати за тією самою формулою, що й у випадку чистого згину. Розрахункова формула на міцність у випадку згину має вигляд:

її читають так: нормальна напруга в небезпечному перерізі, не має перевищувати допустиму. Допустиму нормальну напругу для випадку згину беруть такою самою, як для розтягу і стиску.

Максимальний згинальний момент визначають з епюр згинальних моментів або розраховують.

Оскільки момент опору деформації згину W у розрахунковій формулі стоїть у знаменнику, то що більше W, то менші розрахункові напруги.

Для балок, матеріал яких неоднаково працює на розтяг і стиск (наприклад чавун), доцільно використовувати профілі, несиметричні відносно нейтральної осі, наприклад таврові або П-подібні. Оскільки у несиметричному профілю під час згину виникають неоднакові напруги розтягу і стиску, то переріз, наприклад, чавунної балки вигідно розміщувати таким чином, щоб менші напруги були у зоні розтягнутих, а більші – в зоні стиснених волокон.

Для розрахунків балок із крихкого матеріалу використовують дві умови міцності:

- для розтягнутої зони ;

- для стисненої зони .

Використання матеріалу буде найкращим, за умови що

; , для цього має виконуватися умова

тобто відстань нейтральної осі від найбільш віддалених точок у розтягнутій і стисненій зонах переріза мають бути пропорційні відповідній допустимій напрузі.

6. Поняття про дотичні напруження за прямого поперечного згину

У поперечних перерізах балки під час деформації поперечного згину виникають не тільки нормальні, а й дотичні напруги, які спричинюють деформацію зсуву. Відповідно до закону парності такі самі дотичні напруги виникатимуть і в поздовжніх перерізах, паралельних нейтральному шару. Наявність дотичних напруг у поздовжніх перерізах можна проілюструвати на такому прикладі.

Якщо брус прямокутного перерізу висотою 2h навантажити силою, оскільки показано на рис. 8а. Якщо з такого самого матеріалу виготовити два бруси висотою h кожний, то за навантаження силою F і відсутності тертя між ними вони зігнуться кожен сам по собі рис. 8б, звідси видно, що за згину цілого бруса висотою 2h між частинами бруса, розділеними поздовжніми волокнами, виникає взаємодія, як результат якої і виникають дотичні напруги. Наявність дотичних напруг у поздовжніх перерізах підтверджується появою в дерев'яних балках за поперечного згину поздовжніх тріщин.

Рис. 8

Формулу для обчислення дотичних напруг поперечного згину балок прямокутного перерізу вивів у 1855 р. російський інженер-мостобудівник Д.І. Журавський. Така формула була потрібна в зв'язку з тим, що в минулому столітті для будівництва мостів широко використовували дерев'яні конструкції, а балки з деревини зазвичай мають прямокутний переріз і погано працюють на сколювання вздовж волокон:

де: Q – поперечна сила в перерізі;

S – статичний момент відносно нейтральної осі частини перерізу, яка лежить вище від розглянутого шару волокон ;

I – момент інерції перерізу відносно нейтральної осі;

b – ширина розглядуваного шару волокон.

Цю рівність називають формулою Журавського, за нею визначають дотичні напруги в балках симетричного перерізу.

Формулу Журавського читають так: дотичні напруги в поперечному перерізі балки дорівнюють добутку поперечної сили Q на статичний момент S відносно нейтральної осі частини перерізу, яка лежить вище від розглядуваного шару волокон, поділеному на момент інерції I всього перерізу відносно нейтральної осі і на ширину b розглядуваного шару волокон.

Безымянный

Рис. 9

Визначимо закон розподілу дотичних напруг для балки прямокутного перерізу рис. 9 для шару волокон ad.

;

коли , то ;

коли у = 0, то .

Таким чином, у верхньому і нижньому шарах волокон дотичні напруги дорівнюють нулю, а в волокнах нейтрального шару вони досягають максимального значення. Закони розподілу дотичних напруг за шириною і висотою прямокутного перерізу показано рис. 9.

Дотичні напруги в балках відповідають деформації зсуву, як результат плоскі поперечні перерізи за поперечного згину не залишаються плоскими, як за чистого згину, а викривляються.

Більшість балок розраховують тільки за нормальними напругами; три види балок треба перевірити за дотичними напругами, а саме:

1) дерев'яні балки, бо деревина погано працює на сколювання;

2) вузькі балки (наприклад, двотаврові), бо максимальні дотичні напруги обернено пропорційні ширині нейтрального шару;

3) короткі балки, бо за відносно невеликого згинального моменту й нормальних напругах у таких балках можуть виникати значні поперечні сили і дотичні напруги.

7. Лінійні та кутові переміщення за прямого згину. Розрахунки на жорсткість за згину

У більшості випадків практичного розрахунку деталей, що працюють на згин, необхідно також робити розрахунок на жорсткість. Під розрахунком на жорсткість розуміється оцінювання пружної піддатливості балки під дією прикладених навантажень і підбір таких розмірів поперечного перерізу, за яких переміщення не будуть перевищувати встановлених нормами меж. Для виконання такого розрахунку необхідно навчитися обчислювати переміщення точок балки під дією будь-якого зовнішнього навантаження, що необхідно також для розрахунку статично невизначених балок.

Розглянемо деформацію балки за плоского згину. Вісь балки (рис. 10) під дією навантаження, розташованого в одній з головних площин інерції (у площині хоу), викривляється в тій самій площині, а поперечні перерізи повертаються й одночасно одержують поступальні переміщення.

Рис. 10. Прогин за плоского згину

Скривлена вісь балки називається вигнутою віссю, або пружною лінією. На рис. 10 і 11 пружну лінію зображено тонкою кривою лінією.

Рис. 11. Кут повороту за згину

Переміщення центра ваги перерізу за напрямком, перпендикулярним до осі балки, називають прогином балки в цьому перерізі й позначають літерою w. На рис. 10 і 11 центр ваги довільного перерізу, взятого на відстані х від початку координат, перемістився за вертикаллю із точки О₁у точку О₂ на відстань О₁О₂. Це переміщення і є прогином балки w(x) у перерізі з абсцисою х. Найбільший прогин називається стрілою прогину й позначається літерою f.

Кутθ, на який кожний переріз повертається стосовно свого первісного положення, називають кутом повороту перерізу. Кут повороту також може бути визначений як кут між дотичною до пружної лінії й віссю х (рис. 11).

Довжина вигнутої осі, що належить нейтральному шару, за скривлення бруса не змінюється, отже, при цьому відбувається зсув її точок також і в напрямку осі х (переміщення О₁О₃ на рис. 12). Однак у більшості випадків зсуви настільки малі, що ними можна знехтувати.

Рис. 12. Горизонтальне переміщення за згину

Умовимося осі координат завжди розміщати таким чином: початок координат поміщати на лівому кінці балки, вісь х спрямовувати вздовж осі балки вправо, а вісь w – вгору.

Прогин w будемо вважати позитивним, якщо переміщення відповідної точки відбувається вгору, тобто в напрямку осі w. Кут повороту θ будемо вважати позитивним за повороту перерізу проти годинникової стрілки.

У зв'язку з малістю деформацій балок можна вважати tgθ≈θ тому, що тангенс кута повороту є похідна від ординати прогину:

То з достатнім ступенем точності можна вважати кут повороту θ в цьому перерізі рівним похідної прогину w(x) по абсцисі перерізу:

Таким чином, для визначення деформації балки в її довільному перерізі необхідно, насамперед, одержати рівняння пружної лінії:

Виходячи з фізичної природи вигнутої осі бруса, можемо затверджувати, що пружна лінія має бути безперервною й гладкою (не має зломів) кривою, отже, впродовж всієї осі бруса мають бути неперервні функція w і її перша похідна. Прогини й кути повороту і є переміщеннями перерізів балок за вигину. Деформація тої або іншої ділянки балки визначається скривленням його вигнутої осі, тобто кривизною. Тому що вплив поперечної сили на кривизну малий, то в загальному випадку поперечного вигину рівняння можна записати у вигляді:

З курсу вищої математики відомо наступне рівняння кривизни плоскої кривої:

Тепер для одержання диференціального рівняння вигнутої осі залишається прирівняти праві частини цих виразів, з'ясувавши попередньо питання про знак.

Якщо згинальний момент позитивний, то пружна лінія своєю ввігнутою стороною звернена нагору (рис. 13а), отже, за прийнятого напрямку координатних осей кривизна k=1/ρ – вважається позитивною. За негативного згинального моменту кривизна також буде негативною (рис. 13б). Якби вісь була спрямована донизу, то за позитивного згинального моменту кривизна була б негативною (рис. 13в), а за негативного моменту – позитивною (рис. 13г).

Рис. 13. Правило знаків

Зберігаючи прийнятий напрямок осі w вгору, маємо відповідність між знаком моменту й знаком кривизни, тому можна прирівняти праві частини:

Якби вісь w була спрямована донизу, то в правій частині варто було б поставити знак мінус.

Отримане рівняння називають точним рівнянням вигнутої осі бруса. Воно є нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку, інтегрування якого, як відомо, має значні труднощі. У зв'язку з цим і тому що в переважній більшості розглянутих на практиці завдань прогини малі, точне рівняння заміняють наближеним рівнянням – рівнянням для малих переміщень.

У знаменнику рівняння стоїть сума двох доданків:

За малих деформацій величина другого доданка в багато разів менше першого. Дійсно, за розрахунку звичайних машинобудівних або будівельних елементів норми допустимого прогину становлять 1/100–1/1000 прольоту залежно від умов роботи балки, а кути повороту, що виходять при цьому, не перевищують 10.

Навіть, прийнявши більшу межу для прогину (f=1/100), найбільшу величину тангенса θ одержимо наступного порядку:

Таким чином, значення tg²θ не перевершує 0,0004, тобто досить мало порівняно з одиницею. Цими величинами й можна зневажити без відчутної для практичних цілей помилки. Тоді одержимо таке спрощене диференціальне рівняння пружної лінії:

у якому величина згинального моменту обчислюється для недеформованої балки. Надалі це рівняння будемо називати основним диференціальним рівнянням пружної лінії (для малих деформацій). З його допомогою можна обчислювати переміщення в балках за будь-яких умов навантаження.

Вирішуючи завдання аналітичним методом, кути повороту θ(х) й прогини w(х) обчислюють послідовним інтегруванням основного диференціального рівняння. Проінтегрувавши рівняння перший раз, одержимо вираз для кута повороту θ(х):