Тема 1.13. Елементи динаміки системи

План

1. Система матеріальних точок. Внутрішні і зовнішні сили. Момент інерції твердого тіла

2. Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла

3. Кінетична енергія твердого тіла за поступального, обертального і плоскопаралельного руху

1.  Система матеріальних точок. Внутрішні і зовнішні сили. Момент інерції твердого тіла

Сукупність матеріальних точок, які взаємодіють між собою, називають механічною системою матеріальних точок. Будь-яке тверде тіло можна вважати незмінною механічною системою матеріальних точок. Сили взаємодії точок цієї системи називають внутрішніми; сили, з якими діють на цю систему інші точки, що не належать до цієї системи, – зовнішніми.

Всі формули динаміки точки застосовні до тіла, яке рухається поступально.

Рівняння поступального руху твердого тіла нічим не відрізняється від основного рівняння динаміки точки:

,

де m – маса тіла, яка є мірою інертності тіла за поступального руху.

За обертального руху твердого тіла мірою його інертності є момент інерції тіла відносно осі обертання. Момент інерції тіла відносно осі – це сума добутків мас матеріальних точок, які утворюють це тіло, на квадрат відстаней їх до цієї осі

Одиниця вимірювання моменту інерції кг·м².

Суттєва відмінність осьового моменту інерції тіла від його маси полягає в тому, що маса тіла є для нього величиною постійною, тоді як момент інерції тіла залежить не тільки від самої обертової маси, але й від розподілу цієї маси відносно осі обертання.

Моменти інерції деяких однорідних тіл:

1) момент інерції тонкого однорідного стрижня завдовжки l і масою m:

;

2) момент інерції круглого однорідного циліндра радіусом R і масою m:

.

Теорема Гюйгенса: Момент інерції тіла відносно даної осі дорівнює моментові інерції тіла відносно осі, що їй паралельна і проходить через центр маси тіла, плюс добуток маси всього тіла на квадрат відстані між осями.

      2.  Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла

Для тіла яке обертається навколо нерухомої осі основне рівняння динаміки має вигляд:

.

Обертальний момент дорівнює добуткові моменту інерції тіла відносно осі обертання на кутове прискорення.

Величина М_об може залежати від φ і t. Якщо М_об=0, то ω=const, тобто тіло обертається рівномірно. Якщо М_об= const, то ε=const, тобто тіло обертається рівнозмінно.

       3. Кінетична енергія твердого тіла за поступального, обертального і плоскопаралельного руху

Кінетична енергія твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок, які утворюють це тіло:

.

Обчислимо кінетичну енергію твердого тіла для трьох випадків руху.

1) Тіло рухається поступально

Оскільки в поступальному русі усі точки тіла рухаються з однаковими швидкостями, його швидкість обчислюється за тією самою формулою, що й кінетична енергія матеріальної точки:

.

Кінетична енергія тіла за поступального руху дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швидкості руху центра мас.

2) Тіло обертається навколо нерухомої осі

Кінетична енергія твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат його кутової швидкості.

3) Тіло рухається плоскопаралельно

Кінетична енергія твердого тіла, яке рухається плоскопаралельно, дорівнює сумі кінетичних енергій у поступальному русі разом з центром ваги і обертальному русі навколо центральної осі, перпендикулярної до основної площини.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи тіл: зміна кінетичної енергії системи тіл за деякого переміщення дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діяли на систему під час переміщення.

Кінетична енергія системи тіл дорівнює сумі кінетичних енергій кожного тіла окремо. Якщо тіло тверде, то сума робіт його внутрішніх сил дорівнює нулю.

Запитання для самоконтролю

1. Що називають системою матеріальних точок?

2. Які сили називають зовнішніми, а які внутрішніми?

3. Що називають моментом інерції тіла?

4. За якою формулою визначають момент інерції тонкого однорідного стрижня і круглого однорідного циліндра?

5. Сформулюйте теорему Гюйгенса про момент інерції відносно паралельних осей.

6. Який вигляд має основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла?

7. Чому дорівнює кінетична енергія за поступального руху тіла?

8. Чому дорівнює кінетична енергія за обертального руху тіла?

9. Чому дорівнює кінетична енергія за плоскопаралельного руху тіла?

10. Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії системи тіл.

Попередня тема Теоретичні відомості Наступна тема